SEP词条：鲁道夫·卡尔纳普——补充词条C归纳逻辑

原地址：https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/carnap/inductive-logic.html

（Supplement to Rudolf Carnap）

First published Mon Feb 24, 2020; substantive revision Tue May 5, 2020

从 1942 年到 1970 年去世，卡尔纳普把大部分时间和精力都投入到归纳逻辑的一种新形式的发展中。卡尔纳普在职业生涯如此晚期才追随这个新方向的动机，在 main entry (Section 8.2) 中进行了讨论；将概率概念的解明（explication）区分为概率1（认识的概率）和概率2（理解为长期相对频度的统计概率）两个概念，在补充词条 Methodology (Section 1) 中被看作是解明的一个最好的例子。在该分类中卡尔纳普自己的关注点完全在于概率1。

概率2 是经验性的（如“30 岁以下的德国男性中肺癌患者的相对频度是…”），与其不同，确证或概率1 对卡尔纳普来说是相对于框架的（framework-relative）。特别的，当一个确证测度（confirmation measure）$P$ 是由一个框架唯一决定的，那么在框架中要么“$P(H | E) = r$”为分析真，要么“$P(H | E) \neq r$”为分析真（见 Carnap 1950b: 34）。正如他将语言框架定义为提供部分构成这些框架的演绎逻辑规则（见 main entry (Section 1.2)），在从 1940 年代开始的关于确证的工作中，卡尔纳普构建了配备有归纳逻辑规则的更为全面的框架。这些归纳规则与演绎规则是连续的：例如，逻辑真理，或者更一般的框架对象语言中的分析句，无论证据如何都要被分配（绝对）确证的最大值 1（见补充词条 Reconstruction of Scientific Theories (Sections 1 and 5)）。这是因为这些陈述是由框架给出的，并且部分地构成了框架，这就是为什么它们在同一框架下不可能非确证的原因。在卡尔纳普的科学重构中，框架所具有的这种人们可以称之为“相对先天性（relative-aprioricity）”（在 Friedman 1999 的意义上）的方法论地位（见补充词条 Carnap versus Quine on the Analytic-Synthetic Distinction），延续到框架的确证测度上，这些确证测度最先使得框架中分析句在经验上的确证或非确证成为可能。（正如卡尔纳普在“Empiricism, Semantics and Ontology”（1950a）第 2 节中所说，接受一个语言框架也意味着“接受…用于检验、接受或拒绝其陈述的规则”，所有这些规则都涉及到确证概念的应用）。这对归纳推理（inductive inference）也同样成立，对卡尔纳普来说，归纳推理不过是确证度（degree of confirmation）的确定。

出于这个原因，由卡尔纳普式框架所确定的确证测度不应该看作完全与现代贝叶斯主观置信度函数（Bayesian subjective degree-of-belief functions）相一致。相反，从卡尔纳普的观点来看，科学家的个人置信度函数将被合理重构为通过证据 $E$ 来更新一个框架的确证测度所产生的结果，其中框架对于科学家的理论是先验相关的（a priori relative）（同样是在 Friedman [1999] 的意义上），且其中 $E$ 是科学家或其科学团体当时所能获得的全部相关证据。（见 Carnap(1950b: 211 and 214) 出于卡尔纳普著名的“全证据要求（Requirement of Total Evidence)”的相应说法，他将这个要求看作是属于归纳方法论)。在 $E$ 为行为者的全部相关证据的情况下，此行为者的公平赌局商数（fair betting quotient）其实是 $P(H | E)$。Brössel (2012) 认为，对卡尔纳普确证测度的相对先天性解释也为 Glymour 在 1980 年提出的，威胁到了关于确证问题的标准贝叶斯解释的著名的“旧证据问题（Old Evidence Problem）”指明了一条出路：这个问题是，主观概率 $P(E)$ 为 1 或接近 1 的“旧证据”$E$，不能再证实假说 $H$，因为在被给出主观概率测度 $P$ 之后，$P(H | E)$ 和 $P(H)$ 就会相等或至少接近相等。与此相反，如果一个在框架中工作的科学家依靠一个“初始的”相对于框架的确证测度 $P$ 来确定确证度，那么即使当 $E$ 对她来说已经是可获得的，$E$ 也可以算作确证证据，因为“初始的”相对于框架的概率 $P(E)$ 通常会远离 1。

这意味着，概率的贝叶斯主义解释的许多标准特征已经可以在 Logical Foundations 中找到，而且一旦这些概率被证据所更新，它们确实适用于确证测度：例如，卡尔纳普把概率解释为公平赌局商数，以证明概率公理的合理性（LFP: 165）；他坚持合理的实践决策要以频度的估计为基础（而不是以频度本身，即概率2为基础，LFP: 250），当我们通过最大限度地提高行动的评估效用来合理地决定行动时，我们要依靠这些估计（p.260）；而在 §104 中，他证明了（平均）确认度与估计的相对真理频度相吻合，这在一定程度上预见了对贝叶斯主义的正当化（如 Joyce 1998 和 Pettigrew 2016）。对卡尔纳普来说，归纳逻辑不仅服务于科学，而且还构成了“生活的向导（a guide to life）”（LFP: 161, 247），这与贝叶斯主义文献中的实用主义传统是一致的（如 Jeffrey 1965, 1992）。相应地，在他后来的著作中，逻辑概率函数也被认为是“合理的可信度函数”（Carnap 1963b: 971），尽管不是个人的置信（credence）函数；我们将在本节末尾回到这个问题上。卡尔纳普还非常明确地指出，如果要对个人信念进行合理地重构，就应该在数字标度上以概率论的方式进行，而不是在分类的标度上以或全接受或全不接受方式进行：见“rational credibility functions”（Carnap 1968b）。（在 Logical Foundations 的第 256 页，他还给出了可能是抽奖悖论（Lottery Paradox）的一种变体的首次陈述，这个变体后来通过 Kyburg (1961) 变得非常有名。然而，卡尔纳普版本的彩票悖论并不关注于所谓的或全接受或全不接受在合取下的封闭，而是关注于“看上去似乎高度可能的陈述被认为是确定的”这一可疑的结论。）

更为恰当的是，无论是较早的（如 Jaynes 1968）还是最近的（如 Jon Williamson 2010）客观贝叶斯主义的支持者，都与卡尔纳普一样，关注先验或“初始的（initial）”概率，而证据会对“初始的”概率产生“客观”影响，这就是为什么卡尔纳普对概率论确证的理论很可能被称为“客观贝叶斯主义”的原因（尽管在某些方面，也许在关于这一话题的他的后期工作中他变得更加主观贝叶斯主义——见 Sznajder 2016, 2018）。

与之相似，卡尔纳普的概率测度与 David Lewis (1980) 的“初始的”置信度函数密切相关，这个函数是在任何学习行为还没有开始之前，其最初阶段的认识的情况上的置信度函数（除此之外，卡尔纳普只会将这种的心理描述用作一种教学手段，通过这种手段可以更容易地解释逻辑设置）。出于同样的原因，卡尔纳普的概率测度也类似于 Timothy Williamson (1998) 的“初始的”概率测度 $P$，Williamson 将其用于衡量“类似于先于调查的假说的内在可信度（intrinsic plausibility）的某种东西”（1998: 91）。事实上，Lewis 和 Williamson 都在他们的论文中很早就引用了卡尔纳普。尽管如此，Lewis (1980: 263) 拒绝接受“初始的”一词所具有的任何逻辑的或客观的内涵，他指出：

卡尔纳普…确实很好地区分了概率的两个概念…但我认为卡尔纳普并没有选择两个完全正确的概念。对于他的 [卡尔纳普的] “确证度”，我会选择置信度或相信程度；对于他的 “长期的相对频度”，我会使用机会 (chance) 一词。

正如 Lewis 对所谓的主观概率和客观机会的反射原理 (reflection principles) 感兴趣一样，卡尔纳普 (1950b) 对反射原理也很感兴趣，根据该原理，概率1 是概率2 的估计——比较 Logical Foundations 的第 173 页。与卡尔纳普的概率1 理论不同的是，Lewis 并没有对“初始的”概率理论进行任何详细的扩展。Williamson (1998: 91) 将他的项目与卡尔纳普的项目区别开来，他说，与卡尔纳普的观点相反，“P 并没有被假定为可句法定义的”。Williamson 本人并没有对“初始的”概率说太多，且他对卡尔纳普的论述的批评有些误导。卡尔纳普在 Logical Foundations of Probability 的附录中，确实用纯粹句法词项定义了一个唯一确定的确证测度；见下文。但是，在 Logical Foundations 的主要部分，以及在他后来的著作中，他只陈述了对 Williamson 会称之为“初始的”确证测度的公理约束 (axiomatic constraints)；且通常这些公理约束是用语义词项而不是句法词项来表达的。

最后，但肯定不是最微不足道的是，通过联系其确证与在逻辑和语义上(部分)定义的语言框架，卡尔纳普式确证测度可被看作逻辑的或语义学的概率测度。(见 Logical Foundations 的 §8 关于“确证的语义概念”的讨论；至于当代文献，可比较 Roeper & Leblanc 1999)。事实上，与在他之前的 Keynes (1921) 一样，卡尔纳普 (1950b: 206) 提出，条件确证度可以被看作部分逻辑蕴涵的数字测度，即部分真理的保存。更重要的是，卡尔纳普的“初始的”框架相对的确证测度与演绎逻辑中的逻辑概念在类似的意义上是逻辑的(关于卡尔纳普对逻辑概念的论述和逻辑概念在他的结构主义式的应用，见补充词条 Reconstruction of Scientific Theories (Section 6) 和 Aufbau (Section 2))：正如我们现在要详细解释的那样，确证测度在是同构下不变的 (invariant under isomorphism)。(Maher 2010 认为，卡尔纳普的概率测度在可由纯数学手段定义的意义上是逻辑的：但这只是一个必要条件，因为人们可以用纯数学手段定义非同构不变的概率测度)。

在 Logical Foundations 中，卡尔纳普考虑了确证测度，这种确证测度将概率论的确证度分配给形式的一阶语言中的句子。(在他后来的工作中 (1971a,b,1980)，他将遵循概率处理的更标准的数学方法，将概率分配给事件或命题的集合论代数的成员；于是，形式语言中的句子将被解释为表达这个代数中的集合论事件或命题。) 任何这种语言的谓词都带有所预想的定性和观察性解释；卡尔纳普在他的概率论工作中不处理理论词项(尽管在 1964 年的一次访谈中，他将此看作是未来要进行的重要一步：见 Carnap 1964)。在 Logical Foundations 的附录中，他将这些谓词进一步限制为一元的，但在 Logical Foundations 之外，他还对更一般的 n 元谓词的情况感兴趣。接下来是个体变元，任何此类语言的词汇中都包括作为单称词项的个体常元 $a_1, a_2, \dots$，令两个不同的常元被假定为“根据逻辑”表示不同的对象。(因此，句法上不同的常元之间的等号陈述被认为是逻辑上错误的；Carnap(1946, 1947) 也使用了同样的约定——比较补充词条Semantics。) 人们或许认为这些个体常元的指称从一开始就被固定下来了，然而，这并不意味着若一个行为者的假说被分配了确证度，则他需要知道这些常元指涉的是什么。卡尔纳普考虑了具有有穷多的，比如 $N$ 个个体常元的语言（语言 $L_N$），以及具有无穷多个体常元的语言（语言 $L_\infty$）。逻辑结合子和量化子是标准的，其中量化子被理解为替换词（substitutional）；例如，$L_\infty$ 中的全称量化对应于包含了全部任意个体常元的置换例的无穷合取。最终，卡尔纳普要求 $L_\infty$ 中的量化句的概率通过当 $N$ 趋近无穷时 $L_N$ 的概率的极限来给出。其后果是，一个全称量化的句子可能会得到一个为 0 的概率（见例如，LFP: 571），即使这个句子可能是经验定律的假说的逻辑重构，而一个物理学家可能想为其赋值一个正的主观概率：这就是卡尔纳普的主张的问题之一。（见 Popper 1935[1959: §80] 和 Earman 1992。后来，Hintikka 1966、Kuipers 1978 和 Hintikka & Niiniluoto 1980 提出了可以避免这个问题的方法。卡尔纳普本人通过用“下一个”至今未被观察到的单个实例（single case instance）的确证来解释全称规律的确证，用以规避这个问题：见 LFP: 571-575。我们这里的讨论将悬置这个问题，并集中在语言 $L_N$ 以及它们有穷多的常元上。）这些语言的语义学的发展就像在 Meaning and Necessity 中一样（见补充词条Semantics）：所谓状态描述（state-descriptions），作为句子可以放在其中进行评价的可能的世界，是原子句或原子句的否定句的一致和完备的集合（对于 $L_\infty$），或相对应的原子句和原子句的否定句的合取（对于 $L_N$）。在同样的基础上，内涵可以被分配给这些语言中的各种类型的表达方式，且可以通过利用单称词项和谓词的实际（意图的）解释来定义真。

比如：我们假设 $L_4$ 为正好有一个一元谓词 $B$ 和四个个体常元 $a, b, c, d$。那么就正好有 16 个状态描述：

(更一般地说，卡尔纳普讨论了一种连言式，在这个连言式中，从有穷逻辑分区 (logical partition) 或公式的“划分 (division)”中，为有穷多个体常元中的每一个，恰好分配一个公式作为“个体分布 (individual distributions)”：这个想法是让个体分布在成对意义上的逻辑排他及总体意义上的逻辑排他的开式 (pairwise logically exclusive and overall logically exhaustive open formulas) 的同一个自由变元中。)

有了这一切，不意外地，卡尔纳普关于确证测度的第一个恰当条件就是它们满足概率公理 (LFP: §53)。这些公理是针对条件 (conditional) 概率测度而提出的，而不是用绝对或无条件概率测度来定义的；然而，从卡尔纳普的公理中可以看出，当 $T$ 是一个逻辑重言式，且给出比值 $P(H \& E | T)/P(E | T)$ 的定义，条件概率 $P(H | E)$ 必须等于这个比值；而条件为 $T$ 的概率可以认为是无条件 (unconditional) 概率。早在十年前，Janina Hosiasson-Lindenbaum (1940) 就已经对原始条件概率测度进行了公理化的研究。(关于原始条件概率测度的系统性和历史性考察，见 Makinson 2011)。其中，在 $L_N$ 的情况下，因而要求一个句子的概率与满足该句子的 (有穷多) 状态描述的概率之和相等，并假定所有状态描述的概率之和为 1。

例如，在我们上述的例子中可以得到：

在《逻辑基础》第五章中，卡尔纳普增加了正则性作为恰当确证测度的另一个约束条件：每个状态描述都被分配一个 (在 0 和 1 之间的) 正实数。(再一次声明，我们在此只关注有穷语言 $L_N$。) 由于任何这样的 $P$ 都意图为一个“初始的”概率测度，这对应于这样的要求：(在给定的框架中) 没有任何逻辑的可能性被先验地排除。在我们的例子中，这意味着，例如：

(同时 $P(B(a) \& B(b) \& B(c) \& \neg B(d)) > 0$，等)，因此 $P(B(a) \vee B(b)) > 0$。然而，如卡尔纳普所言：

一个对所有正则 $c$ 函数 [确证函数] 都成立的理论..... 是非常薄弱的..... 我们的任务将是通过缩小 $c$ 函数的类别，并最终选择其中的一个函数来构造剩下的归纳逻辑。(LFP: 337)

这里的“缩小 (narrowing)”指的是卡尔纳普在 Chapter VIII 中介绍的对称性或结构性要求，我们现在就来谈到这点。(“选择其中之一”指的是 Logical Foundations 的附录，我们将在下面讨论)。1924 年，英国哲学家 W. E. Johnson 曾以“排列公设 (permutation postulate)”之名提出并研究了同样的要求 (见 Zabell 2005)。卡尔纳普曾阅读过 Johnson 书中的相关段落，甚至还做了笔记，但到了 1940 年代末显然已经忘记了这一点 (正如他忘记了自己曾在 Ramsey 的书读过提出了理论成分的“拉姆齐化 (Ramsification)”的段落——还划了线，起初他还以为是自己发现了这一想法；见 Psillos 2000: 153, footnote 7)。

以下是基本思路：卡尔纳普把对象语言 $L_N$ 或 $L_\infty$ 中的单个常元之间的任何双射（bijective）映射称为一个“相关（correlation）”。每一个相关都会通过将公式中的常元替换为相关常元而产生公式上相对应的映射。最后，如果一个公式可以通过相关转化为另一个公式，则被定义为同构的（isomorphic）公式。

例如，在上述例子中，状态描述如下：

与状态描述

是关于 $a$ 与它自身，$b$ 与它自身，$c$ 与 $d$，$d$ 与 $c$ 的相关是同构的。很容易看出，在我们的例子里，同构确定了状态描述上的等价关系，可以得到以下五个等价类：

由于每一个这样的等价类都是从个体的相等中抽象出来的，且仅涉及到同构的状态描述，因此，卡尔纳普将一个等价类中的状态描述的选言式称之为“结构描述(state-descriptions)”(LFP: 116)。因此，例如，下面就是上述等价类中的第二个等价类所对应的结构描述：

更一般地说，相对于有穷的给定的个体常元和任意有穷的逻辑分区或公式的“分布”，卡尔纳普也把类似的选言式称为“统计分布 (statistical distributions)”，这就抓住了它们只关心有多少个体属于哪一种类这一观点；见 LFP: 111。例如，上述结构描述的特征是，恰有一个个体为 $\neg B$ 而另外三个个体则为 $B$。卡尔纳普通过给状态描述分配所谓 Q 数 (Q-numbers)，使同构的状态描述具相同的数来将其形式化，并通过这些数字来研究结构描述的组合性性质。

这些准备工作的结果是，卡尔纳普要求（还是关于 $L_N$）恰当的确证测度是对称的 (symmetrical)：它们对同构的状态描述，也就是对上述等价类的每一个成员分配相同的概率。（再次强调，$L_\infty$ 中的对称性是以 $N$ 趋向无穷大时的确证的极限来表述的）。正如卡尔纳普 (1971a: 119) 后来评论的那样，对称性只能在“个体常元具有相同的逻辑性质”的情况下被假定，这种条件与卡尔纳普所谓的坐标语言 (coordinate languages) 不同，在这种语言中，个体常元追随一个基本的数学结构（见补充词条 Logical Syntax of Language 与 Semantics），这种条件也与其他情况不同，在这种情况下一种是已经知道一些对象的独特性质的语言，因此对这些对象假定对称性是不合理的。

例如，在上述例子中，无论条件概率 $P(B(c) | B(a) \& B(b))$ 与 $P(B(d) | B(a) \& B(b))$ 在数值上是多少，对称性假设都要求它们是相等的，因为任何两个互换 $c$ 和 $d$ 的状态描述都被分配相同的概率。（卡尔纳普在下面的引文中使用了同样的例子。）归纳逻辑与演绎逻辑一样，都是结构性的，或者说，实际上是逻辑性的（在下面的引文中，用我们的符号代替卡尔纳普的符号）。

假设 $X$ 通过观察发现，个体 $a$ 和 $b$ 为 $B$；个体可能是物理对象，$B$ 可能是可观察的属性。令 $E$ 为表达这些结果的句子：‘$B(a) \& B(b)$’。$X$ 考虑两个假说 $H$ 和 $H'$；$H$ 是预测另一个对象 $c$ 同样是 $B$（‘$B(c)$’），$H'$ 是预测另一个对象 $d$ 同样是 $B$（‘$B(d)$’）。若 $X$ 选择了一个确证度的概念 $P$，他就可以给 $P(H | E)$ 分配一定的值。我们不能一般地确定这个值，因为它取决于 $P$ 的选择。不同的函数 $P$，即使它们中的每一个看起来都不是不可信的，也可能在给定的情况下产生不同的数值。然而我们期望，如果 $X$ 分配某一个值给 $P(H | E)$，不管值是多少，他也会把同样的值分配给 $P(H' | E)$。如果他在此分配了不同的值，我们会觉得完全不可信；也就是说，我们不应该把这样一个函数 $P$ 看作是 [确证的] 恰当的解明项 (explicatum)。原因是，$E$ 与 $H$ 之间的逻辑关系与 $E$ 与 $H'$ 之间的逻辑关系是相同的。当然，虽然 $c$ 和 $d$ 这两个个体在经验属性上可能大相径庭，但它们的逻辑地位不能不同。证据 $E$ 并没有说明 $c$ 或 $d$ 的任何一种情况；因此，如果 $e$ 是 $X$ 所能得到的所有相关证据，那么他没有任何合理的理由对 $H$ 比对 $H'$ 有更高的期望，反之亦然……用很一般的话来说，我们要求逻辑不应区别对待各个个体，而应平等对待所有的个体……这一点在演绎逻辑中从来没有受到质疑，尽管很少明确被指出。例如，由于 ‘$B(c)$’L-蕴含 (L-implies) [即逻辑上蕴含] ‘$B(c) \vee B(a)$’，那么 ‘$B(d)$’L-蕴含 [即逻辑上蕴含] ‘$B(d) \vee B(a)$’。演绎逻辑的这一重要特征在 L-概念 [即逻辑概念] 的不变性定理 (T-26-2) 中作了一般性说明。我们在此要求归纳逻辑也应该具有同样的特性。（Carnap 1950b: 484f）

“T-26-2”指的是 Logical Foundations 中作为预备的演绎逻辑部分的一个定理，在这个定理中，卡尔纳普证明了同构的句子共享通常的元逻辑特征（例如，逻辑真）：尽管卡尔纳普在那里所说的内容并不涉及 Tarski (1986) 对象语言学意义上的逻辑概念（如否定、存在量化等），但在同一节中，他还指出：“迄今为止，演绎逻辑中的这些不变量（invariances）只被很少地研究过”，并引用了 Lindenbaum and Tarski (1936) 与 Mautner (1946) 作为唯一的此类研究的例子。Lindenbaum 与 Tarski 的论文承认卡尔纳普本人在 1920 年代末，与他的“普遍公理（general axiomatics）”计划有关的关于不变量的工作（见 main entry (Section 2.3, last paragraph) 与补充词条 Reconstruction of Scientific Theories (Section 6)）。而题为“An Extension of Klein’s Erlanger Program: Logic as Invariant-Theory”(1946) 的 Mautner 的论文，将逻辑与 Klein 著名的几何学的 Erlanger program 联系在一起，正如后来 Tarski(1986) 的著名的提议那样。

正如卡尔纳普也认为的那样，概率论学家在他们的统计工作中常常默默地预设了对称性的要求：

对称的 $P$ 函数的值对于通过任何…相关性…而得到的句子的变换都是不变的。不变性原则似乎已经被所有古典和现代的概率1[即作为确证的概率]的作者所接受，尽管它几乎没有被明确表述过。例如，所有的作者都会提出和回答下列问题：假设在 $s$ 个被观察到的物体中发现了 $s_1$ 具有属性 $B$ 以及 $s_2 = s - s_1$ 具有属性非 $B$；在这个证据下，另一个被观察到的物体具有属性 $B$ 的概率是多少？虽然没有人用这么多语句表述出来，但如果假定在所述证据上的概率的值也取决于观察到的个体是哪一个特定的 $s$，以及在预测中涉及的是哪一个特定的其他个体，这在大家看来大概是荒谬的。对于古典概率的作者来说，这仅仅是作为无差别原则（principle of indifference）的结果出现的；但那些拒绝这一原则的现代作者似乎也认为，在所提到的这个问题上，与概率有关的东西只有数字的陈述而没有个体的明确说明，这是理所当然的。用我们的术语来说，关于概率的作者们似乎有一个普遍的共识，即任何概念都不能被认为是概率的恰当说明，除非它具有对称性的特征。(Carnap 1950b: 488f)

(主观的贝叶斯主义者不会同意这一点。)事实上，在 Logical Foundations 的 §§94–96 中，卡尔纳普从对称性要求中推导出统计的归纳推论（其中 $E$ 或 $H$ 或两者都给出了关于频度的信息）的各种显著特性，如二项式法则（the Binomial Law）。此外，卡尔纳普的对称性要求与 De Finetti(1931 年，被卡尔纳普引用)著名的随机变元的可交换性假设（assumption of exchangeability of random variables）是相一致的，它——通过 De Finetti 的特征定理（Representation Theorem）——在主观概率与即使在主观的贝叶斯基础上也是可以接受的统计概率之间提供了一座桥梁。（卡尔纳普会强调，对称性/可交换性是应用于一定的情境中的合理性的要求，而主观贝叶斯主义者会认为这是关于某种数据的假说；最终，很不容易判断这对卡尔纳普来说是否构成了实质性的差异，或者他是否会认为这仅仅是强调同一事态的不同方面的问题。关于卡尔纳普式的对称性与 De Finetti 式的可交换性的更详细的比较见 Zabell 2005, 2007）。

我们已经看到，概率公理要求，分配给一个结构描述的确认度，比如说：

必须等于分配给它们的析取肢的确证度之和，即属于这个选言句的四个成对的同构状态描述的确证度之和。对称性保持了，这些同构状态描述中的每一个都被分配了一个相同的确证度。这就留下了一个悬而未决的问题，那就是分配给这个选言句的确证度的问题；或者等价地说，是分配给它们所例化的结构描述的确证度的问题，在这一情况下，（这一选言句的确证度）必须是分配给这四个析取肢中的每一个确证度的四倍。

在 Logical Foundations 的附录中，卡尔纳普提出了确定这些确证度的最简单方法：每个（在 $L_N$ 中的）结构描述都应该得到相同的概率（根据对称性，这个概率均匀地分布在归它支配的状态描述上）。很容易看出，这就决定了一个唯一的确证测度，卡尔纳普用 $c^\*$ 来表记。因此，$c^\*$ 被刻画为在结构描述上统一的、唯一确定的正则、对称条件概率测度。一旦获得一个 $c^\*$ 的显定义，就通过演绎逻辑及其状态描述语义学与这个 $c^\*$ 函数的定义结合在一起，得到归纳逻辑。Tarski 对真性（truth）的显定义包含了相关的对象语言的真性模式（truth schema）的所有实例，采用与此类似的方式，卡尔纳普对 $c^\*$ 的定义包含概率公理、正则性和对称性作为恰当条件。此外，卡尔纳普通过从中推导出各种可信的统计推理模式，来证明这个定义的富有成效性——这些模式包括，如直接推论（从一个群体到一个样本）、预测推论（从一个样本到另一个样本）、类比推论（从两个个体共有属性到它们共有其他属性）、逆推论（从一个样本到一个群体）、实例确证，以及更多（例如，实例的种类越多会导致 $c^\*$ 越大；形式上的细节见 Carnap 1945b 或 Carnap 1950b 的对应附录。）因此，在补充词条 Methodology 中已经解释过的意义上，$c^\*$ 可以作为对概率1 准确、富有成效、简单、充分的解明。（卡尔纳普只对 $c^\*$ 与带有一元谓词的语言导出了前面提到的结果。后来，Jeffrey B. Paris 和他的合作者将这些结果的许多都扩展到了更多类的概率测度和带有任意元数的谓词的语言中，且他们基于更多种类的对称性要求得出了大量新的重要结果：例如，见 Landes, Paris, & Vencovská 2008, 2011）。

由于 $c^\*$ 给（$L_N$ 中的）每两个结构描述分配相同的初始概率，且由于表现出“更齐一（more uniformity）”的结构描述是由较少数量的状态描述例化的——例如，之前带有三个 $B_s$ 和一个 $\neg B$ 的结构描述是由四个状态描述例化的，而带有两个 $B_s$ 和两个 $\neg B$ 的“不太齐一”的结构描述是由六个状态描述组成——“更齐一”的状态描述获得相对更大的初始概率，对应的是对“世界的齐一性（uniformity of the world）”的归纳偏向。卡尔纳普在 Logical Foundations 的第 181 页介绍了这一点，提到附录的 §110，他在这一节中解释了 $c^\*$ 函数及其形式属性，以一种仅仅对确证的分析性的（analytic）要求，作为对传统的（形而上学的）“齐一性原则（principle of uniformity）”的一种替代，从而作为传统的归纳问题的一种逻辑的或结构性的“解决方案”。然而，我们可以表明，在正则性和概率公理的语境中，对称性本身只会带来一个弱的归纳学习原则 (principle of inductive learning) (所谓非负的实例相关性原则 (principle of nonnegative instantial relevance))，根据这个原则，“下一个”个体为 $B$ 的概率永远不会因为观察到一个个体为 $B$ 而降低；但是对称性本身并不会导致 “下一个”个体为 $B$ 的概率会因为任何这样的观察而增加 (如正实例相关性原则 (principle of positive instantial relevance) 所要求的那样；见 Humburg 1971 和 Gaifman 1971)。在这个意义上，仅仅是对称性的结构性要求并不足以满足归纳学习的要求。这也是卡尔纳普想超越概率公理、正则性和对称性的原因之一，在 Logical Foundations 的附录中，他转向了具体的确证函数 $c^\*$。

关于经典的归纳问题，卡尔纳普 (1926: 7-9) 自己早在 Popper 之前就已经指出，严格地说，理论不可能被完全验证 (completely verified)，而只能在一定的置信水平 (confidence level) 下被证实 (confirmed)，或被证否 (disconfirmed)。他在最后的著作中一直保持着这种对 Hume 的基本观点的接受 (例如，Carnap 1963b, 1980)。但他并不认为，“以证明归纳推理必须是成功的为目的”，处理这一问题的哲学传统，是富有成效的。

这种证明要么是基于形而上学的原则，要么是基于综合性的 (synthetic)、据说是不可证实的原则，例如，自然齐一性原则。在证明中，任何归纳推理的使用都是被禁止的；人们认为这样的使用会涉及到一个恶性循环，因为归纳推理的有效性被认为是取决于这个证明。(Carnap 1957: 2)

然而，他认为，“这种 [归纳] 的理由既不可能也不需要”。他更同意那些 “在更温和的意义上寻找理由的人”的观点。他用费格尔区分开来的术语写道：

…这个目的不是归纳法的认可 (validation)，而是归纳法的正确性的证明 (vindication)。一般来说，对一种方法或原则的证明 (vindication) 是通过表明其使用适合于实现某一特定目的。一种归纳方法与另一种归纳方法相比较而言的证明，与表明一种归纳方法比另一种归纳方法更有希望达到目标是一致的。(1957: 2-3)

此外，他认为应该把归纳法的正当化 (justification) 问题，在这个比较温和的意义上，分为两个子问题，“在我看来，这两个子问题非常不同，但通常没有明确区分”。第一个问题是决定归纳逻辑的公理，以及决定在达成这个决定时，什么样的理由应该算作理由；第二个问题是关于在所达成的公理所允许的余地内选择特定的归纳方法。关于这第二个问题，他有些摇摆不定。在他的 Continuum of Inductive Methods 中，卡尔纳普 (1952b) 提出，应根据使用者对不同归纳方法的经验意义上成功的经验，根据其对使用者的有用性或便利性来选择归纳方法：

归纳法的采用既不是一种相信的表达，也不是一种信仰的行为，尽管其中任何一种或两种都可以作为促进因素。归纳法毋宁说是一种工具，它是根据观察到的数据构建世界图景的任务，特别是形成对未来事件的预期，作为实践行为的指导。X 可能会像更换锯子或汽车一样，出于类似的原因而更换这个工具。如果 X 在使用汽车一段时间后，对汽车不再满意，他就会考虑换一辆汽车，但前提是他必须找到一辆在他看来比较好的汽车… (Carnap 1952b: 55)。

后来他对此有所退缩，转而支持一种更为理性主义的进路 (rationalistic approach)，即并不拒绝根据特定经验选择归纳方法，但是认为不如根据事先选择的理论框架进行更为有原则的选择；见 Carnap (1963b: 979)。Burks(1963) 建议应用卡尔纳普的内外区分 (见补充词条 Tolerance, Metaphysics, and Meta-Ontology) 来梳理卡尔纳普关于归纳法的正当性的观点，卡尔纳普 (1963b: 982) 认为这种观点“具有启发性”，他同意理论上的考虑确实可以对理论框架选择哪些归纳公理的“外部问题”产生影响。(进一步讨论见 Carus 2017)。

虽然 $c^\*$ 表现出一些有吸引力的形式上的特性，但是卡尔纳普并未主张它是概率1 的唯一可获得的解明，或在任何意义上“最完美”的解明：

并不是说 $c^\*$ 必然是最好的解明项 (explicatum)。这个函数的理论主要是为了表达一个具体的例子而发展的…，(Carnap 1950b: ix, Preface)

它可能…在其他方面仍然是不足的。不能说 $c^\*$ 是概率1 的一个完全恰当的解明项，更不用说它是唯一一个。暂时来说，只要 $c^\*$ 是一个比以前的方法更好的解明项就足够了 (如果它确实是的)；在未来可能会发现更好的解明项。(Carnap 1950b: 563)

在 Logical Foundations 的序言中，卡尔纳普就已经指出：

对于任何两种给定的归纳方法…总存在一些状态描述，其中 [在打赌成功方面] 第一种归纳法胜过第二种。因此，我们永远不能说一种方法绝对不如另一种方法，即在每一个可以想象的世界中都是不如的。然而，两种归纳方法的比较结果…实际上可能影响我们的偏好。(Carnap 1950b: x)

事实上，从仅仅两年后发表的被称为“1 连续统 (1-continuum)”的恰当确证方法 (The Continuum of Inductive Methods, Carnap 1952b)，到他死后发表的归纳逻辑系统 (“A Basic System of Inductive Logic, Part I”, Carnap 1971a, and “A Basic System of Inductive Logic, Part II”, Carnap 1980, both edited by Richard Jeffrey)，卡尔纳普将他对概率论确证的解明从 $c^\*$ 到满足概率公理、正则性、对称性、收敛性 (convergence) 等的不断扩大的概率测度的无穷变域 (range)。收敛性公理，可以被证明蕴含着正实例相关性原则 (如上所述，并假定了卡尔纳普的其他公理)，意味着“下一个”个体具有属性 $B$ 的概率在极限上收敛于观察样本中的 $B$ 对象的相对频度。$c^\*$ 满足这一要求，然而，例如，给每个状态描述分配相同概率的唯一确定的齐一的概率测度，既不满足收敛性，也不满足正实例相关性 (见 Carnap 1950b: 564f)。在卡尔纳普的“1 连续统”中，用数字量 1 来参数化归纳确证测度的意义在于，确定下一个对象为 $B$ 的概率应以多快的速度 (fast) 收敛于给定观察结果的 $B$ 对象的相对频度。他关于归纳法的最后 (死后的) 出版物 (Carnap 1980) 甚至通过以下方式扩展归纳逻辑的概念上的资源：假设质空间 (quality spaces) (如颜色空间)，在这些质空间上定义相似性关系或距离测度，且相对于这些，可以形成一个更加全面的 $g-h-l$ 确证测度族，以将这些质量空间的特征用于进行类比推论：每一个 $g$ 参数 ($g$-parameter) 衡量一个属性的相对“几何宽度”，每一个 $h$ 参数 ($h$-parameter) 衡量两个属性之间的相似性，这种相似性被用来重构从属性的预测到相似属性的预测的归纳推论。因此，卡尔纳普晚期关于归纳逻辑的工作通过几何结构来增强在他的工作中占有重要地位的语言框架（见 main entry (Section 1.2)）。见 Hilpinen 1973 和 Sznajder 2016 对卡尔纳普的“基本系统 (Basic System)”的重构和讨论。关于“基本系统”的延伸和改进，见 Niiniluoto 1981, 1988; Kuipers 1984, 1988; Skyrms 1991, 1996; Maher 2000；和 Huttegger 2009。）

通过不断扩大他认为恰当解明项的确证测度的类，卡尔纳普更接近于将全部（带有主观解释）概率测度都视为恰当的贝叶斯主义立场——这就是例如，卡尔纳普的学生 Richard Jeffrey 所采取的贝叶斯主义的方式。然而，卡尔纳普似乎对依赖框架在先的（framework-dependent prior）确证测度，从未放弃过对称性的逻辑性或结构性要求。（关于卡尔纳普对称性要求的考察、以及详细讨论和批评，见 Zabell 2005）。正如本节开头所解释的那样，以严格的贝叶斯主义的理由来批评卡尔纳普式的对称性是值得商榷的，因为卡尔纳普式的“初始的”确证测度所预想扮演的功能性角色应该不同于主观概率测度的角色（主观概率测度可能由卡尔纳普的“初始的”确证测度通过证据的更新而得到）：正如他在 Carnap (1971a: 118) 中所说的那样：

C 函数 [确证测度] 必须要求对称性，只是因为对称性的目的是表征可信性（credibility），而不是置信度（credence）。一个非对称的置信度函数仍然可能是合理的……那些在置信度的意义上解释“概率”（通常是“主观概率”或“个人概率”）的主张者（例如，de Finetti, Savage，和 Jeffrey…）将对称性限制在特殊情况下是非常正确的。

对“古典概率”的典型批评基于贝特朗悖论（Bertrand’s Paradox）（见词条 interpretations of probability 3.1 节的考察）和同时例证所有可能的对称性种类的逻辑上的不可能性，如果是针对卡尔纳普，那就是搞错了目标。卡尔纳普本人警告不要“不加批判地使用无差别原则”（1950b: 331），并认为“既然这个原则会导致矛盾，我们就必须放弃它”（1950b: 332）。只有在一个语言框架建立起来之后，在还没有收集到关于个体的具体证据的情况下，在此框架中所规定（specified）和确定（identified）的关于个体的对称性才会成为先验概率的合理的限制。

同样，在卡尔纳普的归纳哲学中，Goodman(1955) 对“归纳的新问题（new problem of induction）”和 grue-型谓词的著名担忧，涉及到人们应该为归纳推理预设哪种语言框架的实用性问题：例如，一个语言框架具有纯粹的“描述性”原始谓词，如“蓝色”和“绿色”，或者一个语言框架同时也包括混合的“描述性－位置性（descriptional-locational）”原始谓词，如 Goodman 的“grue”和“bleen”（见 Carnap 1971a: 72-76）。这个超越归纳法的科学概念选择的问题对每个人来说都是迫切的，这又回到了实在论与反实在论关于概念的“自然性（naturalness）”和“基本性（fundamentality）”的争论（见“Carnap’s reconstruction of scientific theories”）。至少，考虑到卡尔纳普对哲学和解明或合理重构的一般方法（见补充词条 Methodology），我们应该不会感到惊讶的是确证度不仅是相对于证据而言的，而且，像所有语义学概念一样，也是相对于语言系统而言的，(Carnap 1950b: 279)。

并且，一个人为归纳推理所选择的语言框架是否恰当的问题，其本身就是应用性归纳逻辑的一个重要问题（见 Carnap 1971a: 76）。

对卡尔纳普归纳逻辑的另一种批评是由 Putnam(1963) 在关于卡尔纳普的 Schilpp volume 中提出的：Putnam 证明，假设确证函数 $P$ 具有一定的（被上述卡尔纳普的 $c^\*$ 所满足的）可计算性条件，那么，一定存在一个可计算的，涉及个体的一个可数无穷的有序集的假说 $H$，而这个假说在 $P(H | E_n)$ 于极限中收敛于 1 的意义上是不可能被 $P$ 接受的，即使证据 $E_n$ 的每一个都对应于 $H$ 关于前 $n$ 个个体的确证实例的集合。这个证明是后来形式学习理论发展的基础（见 Schulte 2017 的考察）。

在 Schilpp volume 中对 Putnam 的回复中，卡尔纳普采纳了 Putnam 的建议，即科学家在证据面前接受或拒绝假说的方法可能取决于在科学发展的实际过程中提出了（以及以何种顺序）哪些科学假说——Putnam 曾表明的想法，为全部实际提出的假说 $H$ 的问题的解决指明了一条出路。（关于 Putnam 和卡尔纳普之间交流的讨论和评价，见 Sterkenburg 2018 第 1 章）。Sterkenburg (2018: 108) 表明，如果将卡尔纳普的确证函数看作是一个普遍的贝叶斯主义架构（architecture）的实例，通过这个架构可以构建各种特定的确证方法，那么卡尔纳普的归纳逻辑计划就可以免受 Putnam 的批评。正如机器学习中关于“无免费午餐（no-free-lunch）”定理的现代工作所表明的那样（参见 Schurz 2017 的总结和哲学评价），似乎根本不存在任何类似于普遍成功的归纳方法的东西：每一种合理的归纳方法都带有一定的前提条件，且如果不满足这些条件，就无法完成工作。卡尔纳普框架的归纳成分只是构成了使其中一些预设更加精致和明确的方法。

（关于卡尔纳普的概率和归纳问题的详细考察，见 Zabell 2007；对卡尔纳普的确证的解明的一般性辩护，见 Maher 2010）。